Chapter 6. 벡터 해석 (Vector Analysis)

6장은 물리학과 학부 과정에서 가장 중요한 챕터 중 하나이다. 전자기학의 맥스웰 방정식, 유체역학의 나비에-스토크스 방정식 등 현대 물리학의 모든 거대한 이론들은 벡터 미적분이라는 언어로 쓰여 있다. 스칼라(온도, 질량)와 달리 방향을 가진 벡터(바람, 힘, 전기장)가 공간상에서 어떻게 변하고, 회전하고, 뻗어나가는지를 수학적으로 기술해 보자.

1. 벡터의 미분: 속도와 가속도

입자가 공간상을 움직일 때 위치 벡터 \( \vec{r}(t) \)는 시간 \( t \)에 따라 변한다. 위치 벡터를 시간으로 미분하면 속도(Velocity)가 되고, 한 번 더 미분하면 가속도(Acceleration)가 된다.

$$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} $$ $$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} $$
v (접선 방향) 입자의 위치 r(t)
[그림 1] 속도 벡터는 항상 이동 경로의 접선 방향이다.
[Example 1] 원운동하는 입자

문제: 입자의 위치가 \( \vec{r} = \cos t \, \hat{i} + \sin t \, \hat{j} \) 일 때 속도와 가속도를 구하시오.

풀이:
1. 속도(Velocity): 각 성분을 \( t \)로 미분한다. $$ \vec{v} = \frac{d}{dt}(\cos t)\hat{i} + \frac{d}{dt}(\sin t)\hat{j} = -\sin t \, \hat{i} + \cos t \, \hat{j} $$ 2. 가속도(Acceleration): 속도를 다시 미분한다. $$ \vec{a} = \frac{d}{dt}(-\sin t)\hat{i} + \frac{d}{dt}(\cos t)\hat{j} = -\cos t \, \hat{i} - \sin t \, \hat{j} $$ 3. 결론: 잘 보면 \( \vec{a} = -\vec{r} \) 이다. 가속도가 중심(원점)을 향하는 '구심 가속도'임을 알 수 있다.

2. 그라디언트 (Gradient, \( \nabla \))

방안의 온도가 위치마다 다르다고 해보자(\( T(x,y,z) \)). 모기가 가장 따뜻해지는 방향으로 날아가려면 어느 쪽으로 가야 할까? 스칼라 함수가 공간상에서 가장 급격하게 변하는 방향과 그 기울기를 나타내는 벡터가 바로 그라디언트(Gradient)이다.

$$ \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k} $$

여기서 역삼각형 기호 \( \nabla \)는 '델(Del)'이라고 읽으며, 미분을 벡터처럼 다루는 연산자이다.

[Example 2] 산의 가장 가파른 방향 찾기

문제: 산의 높이가 \( h(x,y) = 100 - x^2 - y^2 \) 일 때, 점 (1, 2)에서 가장 가파르게 내려가는 방향은?

풀이:
1. Gradient 계산: $$ \nabla h = \frac{\partial}{\partial x}(100-x^2-y^2)\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}(100-x^2-y^2)\hat{j} $$ $$ = -2x \hat{i} - 2y \hat{j} $$ 2. 점 (1, 2) 대입: $$ \nabla h (1,2) = -2(1)\hat{i} - 2(2)\hat{j} = -2\hat{i} - 4\hat{j} $$ 3. 해석: \( \nabla h \)는 높이가 증가하는 가장 가파른 방향(정상 쪽)이다. 따라서 가장 빨리 내려가는 방향은 그 반대인 \( 2\hat{i} + 4\hat{j} \) 방향이다.

3. 발산 (Divergence, \( \nabla \cdot \vec{V} \))

벡터장을 '물의 흐름'이라고 상상해보자. 어떤 지점에서 물이 펑펑 솟아나고 있다면(수도꼭지), 그곳은 발산(Divergence)이 양수이다. 반대로 물이 빨려 들어가 사라진다면(배수구), 발산은 음수이다. 들어온 만큼 나간다면 0이다.

$$ \text{div } \vec{V} = \nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} $$
Div > 0 (Source) Div < 0 (Sink)
[그림 2] 발산의 물리적 의미: 유체의 생성과 소멸
[Example 3] 폭발하는 벡터장

문제: 원점에서 밖으로 뻗어나가는 벡터장 \( \vec{V} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \)의 발산을 구하시오.

풀이: $$ \nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(z) $$ $$ = 1 + 1 + 1 = 3 $$ 모든 곳에서 발산이 양수이므로, 이 공간은 모든 지점에서 팽창하고 있음을 의미한다.

4. 회전 (Curl, \( \nabla \times \vec{V} \))

물 위에 작은 바람개비를 띄워보자. 만약 바람개비가 뱅글뱅글 돈다면 그 지점의 벡터장은 회전(Curl) 성분을 가진 것이다. 태풍의 눈 주위나 소용돌이치는 물살은 Curl 값이 매우 크다.

$$ \text{curl } \vec{V} = \nabla \times \vec{V} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix} $$
[Example 4] 회전하는 유체

문제: 강물이 중심을 기준으로 회전하는 벡터장 \( \vec{V} = -y\hat{i} + x\hat{j} \) 의 회전(Curl)을 구하시오.

풀이: 행렬식을 이용하여 계산한다. (z 성분은 0이다) $$ \nabla \times \vec{V} = \left( \frac{\partial}{\partial x}(x) - \frac{\partial}{\partial y}(-y) \right) \hat{k} $$ $$ = (1 - (-1)) \hat{k} = 2\hat{k} $$ Curl이 \( 2\hat{k} \)라는 것은 \( z \)축(수직 방향)을 축으로 하여 반시계 방향으로 강하게 회전하고 있다는 뜻이다.

5. 선적분과 일 (Line Integrals)

힘 \( \vec{F} \)를 받으며 어떤 경로 \( C \)를 따라 이동할 때 한 일(Work)의 양은 어떻게 구할까? 힘의 방향과 이동 방향이 나란한 성분만 더해야 한다. 이를 선적분이라고 한다.

$$ W = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} $$

만약 한 바퀴 돌아서 제자리로 왔을 때 한 일이 0이라면, 그 힘은 보존력(Conservative Force)이라고 한다. 중력과 전기력이 대표적이다. 보존력장에서는 \( \nabla \times \vec{F} = 0 \) (회전이 없음)이라는 중요한 성질이 있다.

6. 적분 정리들 (Integral Theorems)

벡터 미적분학의 꽃은 바로 미분(Div, Curl)과 적분(Line, Surface)을 연결해주는 정리들이다. 이 정리들은 "내부의 변화를 다 더한 것은 경계에서의 출입량과 같다"는 철학을 공유한다.

이 정리들 덕분에 우리는 복잡한 3차원 적분을 간단한 2차원 적분으로, 혹은 그 반대로 바꾸어 계산할 수 있다.