고등학교 때 배운 적분이 \( y=f(x) \) 곡선 아래의 '넓이'를 구하는 것이었다면,
이제 우리는 \( z=f(x,y) \) 곡면 아래의 '부피'를 구하거나, 밀도가 불균일한 물체의 '질량'을 구해야 한다.
이 장에서는 변수가 두 개 이상인 적분을 다루며, 이를 물리적으로 어떻게 응용하는지(무게중심, 관성모멘트) 알아본다.
또한, 복잡한 적분을 쉽게 풀기 위한 좌표계 변환의 마법, 야코비안(Jacobian)을 배운다.
1. 이중 적분과 부피 (Double Integrals)
이중 적분 \( \iint f(x,y) \, dx\,dy \)는 기하학적으로 밑면이 \( dx\,dy \)인 아주 작은 사각기둥들의 부피를 모두 더하는 것이다.
적분 기호가 두 개면 안쪽부터 차근차근 계산하면 된다. 이를 반복 적분(Iterated Integrals)이라고 한다.
[그림 1] 작은 기둥(Volume Element)을 모아서 전체 부피를 만든다.
[Example 1] 직사각형 영역에서의 적분
문제: \( 0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le 2 \) 영역에서 \( f(x,y) = xy \) 의 이중 적분을 구하시오.
풀이:
$$ I = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} xy \, dx \, dy $$
1. 안쪽 적분 (x에 대해): \( y \)는 상수 취급한다.
$$ \int_{0}^{1} xy \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 y \right]_{x=0}^{x=1} = \frac{1}{2}(1)^2 y - 0 = \frac{1}{2}y $$
2. 바깥쪽 적분 (y에 대해):
$$ \int_{0}^{2} \frac{1}{2}y \, dy = \left[ \frac{1}{4}y^2 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{4}(4) - 0 = 1 $$
따라서 답은 1이다.
2. 응용: 밀도, 질량, 그리고 무게중심
물체의 밀도 \( \rho(x,y) \)가 위치마다 다르다면 질량은 어떻게 구할까?
단순히 '밀도 × 부피'를 할 수 없다. 아주 작은 조각의 질량 \( dm = \rho \, dA \)를 다 더해야 한다.
또한, 물리학에서 매우 중요한 무게중심(Center of Mass)은 "질량의 가중 평균 위치"로 정의된다.
$$ M = \iint \rho(x,y) \, dA $$
$$ \bar{x} = \frac{1}{M} \iint x \rho(x,y) \, dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iint y \rho(x,y) \, dA $$
[Example 2] 삼각형 판의 무게중심
문제: 꼭짓점이 (0,0), (1,0), (0,1)인 삼각형 판이 있다. 밀도가 균일($\rho = 1$)할 때 무게중심 \( \bar{x} \)를 구하시오.
풀이:
1. 질량(M) 구하기: 삼각형의 넓이와 같다. 밑변 1, 높이 1이므로 \( M = 1/2 \).
2. 모멘트 적분: 적분 범위는 \( x \)가 0에서 1까지 갈 때, \( y \)는 0에서 \( 1-x \) 직선까지이다.
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x \, dy \, dx $$
3. 안쪽 적분 (y): \( [xy]_0^{1-x} = x(1-x) = x - x^2 \)
4. 바깥쪽 적분 (x): \( \int_{0}^{1} (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)
5. 무게중심 계산:
$$ \bar{x} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3} $$
직관적으로 무게중심은 뚱뚱한 쪽(0 근처)에 쏠려 있어야 하므로 \( 1/3 \)은 타당한 값이다.
3. 응용: 관성 모멘트 (Moment of Inertia)
질량이 직선 운동의 저항(관성)이라면, 관성 모멘트(\( I \))는 회전 운동의 저항이다.
피겨 스케이트 선수가 팔을 벌리면(질량이 회전축에서 멀어지면) 회전이 느려지는 이유가 바로 관성 모멘트가 커지기 때문이다.
정의는 "거리의 제곱 × 질량"의 합이다.
$$ I = \iint r^2 \, dm = \iint (x^2 + y^2) \rho(x,y) \, dA $$
[Image of Figure skater spinning]
(회전하는 피겨 스케이터: 팔을 벌리면 r이 커져서 I가 증가하고, 팔을 모으면 r이 작아져서 I가 감소한다.)
[그림 2] 회전축에서 멀수록 돌리기 어렵다 (\( r^2 \)에 비례).
4. 좌표계 변환과 야코비안 (Change of Variables)
원은 직교 좌표계(가로 세로 바둑판)로 표현하기 매우 불편하다. 이때는 극좌표계(Polar Coordinates)를 쓰는 것이 현명하다.
하지만 주의할 점이 있다. \( dx\,dy \)를 단순히 \( dr\,d\theta \)로 바꾸면 안 된다.
피자 조각을 생각해보자. 중심에서 멀어질수록 부채꼴의 넓이가 넓어진다. 이 "넓어지는 비율"을 보정해주는 계수가 바로 야코비안(Jacobian)이다.
$$ dx \, dy = r \, dr \, d\theta \quad (\text{Polar}) $$
$$ dx \, dy \, dz = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \quad (\text{Spherical}) $$
[그림 3] 극좌표계의 넓이 요소: \( dA = r \, dr \, d\theta \) (r이 곱해져야 한다)
[Example 3] 가우스 적분 (Gaussian Integral)
문제: \( I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \) 의 값을 구하시오.
풀이:
이 적분은 일반적인 방법으로는 절대 풀 수 없다. 하지만 이중 적분과 극좌표를 이용하면 기가 막히게 풀린다.
1. 제곱을 해본다: \( I^2 = \int e^{-x^2} dx \int e^{-y^2} dy = \iint e^{-(x^2+y^2)} dx dy \)
2. 극좌표 변환: \( x^2+y^2 = r^2 \), \( dx dy = r dr d\theta \)
$$ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} \, r \, dr \, d\theta $$
3. 여기서 \( r \)이 곱해진 덕분에 \( e^{-r^2} \)의 적분이 가능해진다! (\( u=r^2 \) 치환)
$$ \int r e^{-r^2} dr = -\frac{1}{2}e^{-r^2} $$
4. 계산 결과:
$$ I^2 = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi \quad \Rightarrow \quad I = \sqrt{\pi} $$