우리가 사는 세상은 변수가 하나뿐인 \( y=f(x) \)의 세계가 아니다.
기온은 위도, 경도, 고도에 따라 변하고, 기체의 압력은 부피와 온도에 따라 변한다.
이처럼 여러 변수에 의존하는 함수의 변화율을 다루는 것이 바로 편미분이다.
이 장에서는 산의 기울기를 구하는 법부터, 제약 조건이 있는 상황에서 최적의 값을 찾는 라그랑주 승수법까지 알아본다.
1. 편미분이란? (Partial Derivatives)
함수 \( z = f(x, y) \)가 있을 때, \( x \)가 변할 때 \( z \)는 얼마나 변할까?
이때 중요한 규칙은 "내가 관심 없는 다른 변수(\( y \))는 상수 취급한다"는 것이다.
기하학적으로는 3차원 곡면을 칼로 자른 단면의 기울기를 의미한다.
[그림 1] 한 점에서의 기울기는 방향에 따라 다르다.
$$ \frac{\partial z}{\partial x} : y\text{를 상수로 보고 미분}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} : x\text{를 상수로 보고 미분} $$
[Example 1] 편미분 계산
문제: \( z = x^2 y + \sin(xy) \) 일 때, \( \frac{\partial z}{\partial x} \)를 구하시오.
풀이:
\( y \)는 숫자(상수)라고 생각하고 \( x \)에 대해서만 미분한다.
\( x^2 y \) 미분: \( y \)는 계수처럼 그대로 두고 \( x^2 \)만 미분 \(\to 2xy\)
\( \sin(xy) \) 미분: 겉미분 \( \cos(xy) \) × 속미분 \( (xy)' \). 이때 \( (xy)' \)는 \( y \)가 상수이므로 \( y \)가 된다. \(\to y \cos(xy)\)
\( x \)와 \( y \)가 동시에 아주 조금 변할 때(\( dx, dy \)), 전체 함수값 \( z \)는 얼마나 변할까(\( dz \))?
각 방향의 변화량을 더해주면 된다. 이것을 전미분(Total Differential)이라 하며, 물리 실험에서 오차를 계산하거나 근사값을 구할 때 매우 유용하다.
문제: 원기둥의 반지름 \( r \)이 1% 증가하고, 높이 \( h \)가 2% 감소했다면 부피 \( V \)는 약 몇 % 변하는가?
풀이:
1. 원기둥 부피 공식: \( V = \pi r^2 h \)
2. 전미분 공식을 쓴다:
$$ dV = \frac{\partial V}{\partial r}dr + \frac{\partial V}{\partial h}dh $$
$$ dV = (2\pi r h)dr + (\pi r^2)dh $$
3. 양변을 \( V \)로 나누어 퍼센트 변화율을 본다:
$$ \frac{dV}{V} = \frac{2\pi r h \, dr}{\pi r^2 h} + \frac{\pi r^2 \, dh}{\pi r^2 h} = 2\frac{dr}{r} + \frac{dh}{h} $$
4. 문제에서 \( dr/r = 0.01 \) (1% 증가), \( dh/h = -0.02 \) (2% 감소) 이므로:
$$ \frac{dV}{V} = 2(0.01) + (-0.02) = 0 $$
따라서 부피는 거의 변하지 않는다(약 0% 변화).
3. 연쇄 법칙 (Chain Rule)
변수가 꼬리에 꼬리를 무는 경우이다. 예를 들어 기온 \( T \)는 위치 \( (x, y) \)에 따라 다르고, 위치는 시간 \( t \)에 따라 변한다면?
미분을 양파 껍질 벗기듯 연결해서 계산해야 한다. 이를 시각화하기 위해 변수 나무(Tree Diagram)를 그리면 실수를 줄일 수 있다.
4장의 하이라이트이다. 산 정상(최댓값)을 찾고 싶은데, "등산로(제약 조건)를 벗어나면 안 된다"는 규칙이 있다면 어떻게 해야 할까?
그냥 미분해서 0이 되는 곳을 찾는 것만으로는 부족하다. 이때 등산로의 접선과 산의 등고선이 접하는(평행한) 지점이 바로 우리가 찾는 곳이다.