Chapter 3. 선형대수 (Linear Algebra)

선형대수는 단순히 연립방정식을 푸는 기술이 아니다. 물리학, 특히 양자역학(Quantum Mechanics)에서 물리적 상태는 벡터로, 관측량은 행렬로 표현된다. 이 장에서는 행렬의 기본 연산부터 시작하여, 물리학과 공학의 핵심 도구인 고유값(Eigenvalue) 문제까지 살펴본다. 데이터를 정리하고 공간을 변환하는 행렬의 언어를 배워보자.

1. 행렬의 곱셈과 기하학적 의미

행렬(Matrix)은 숫자를 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 행렬의 덧셈은 쉽지만, 곱셈은 독특한 규칙을 따른다. 앞 행렬의 '행(Row)'과 뒤 행렬의 '열(Column)'을 순서대로 곱해서 더해야 한다.

[ A ] × [ B ] = [ C ] Row i Col j C_ij = (Row i) • (Col j)
[그림 1] 행렬 곱셈의 원리: 앞의 행과 뒤의 열이 만난다.
[Example 1] 행렬 곱셈 수행하기

문제: 다음 두 행렬 \( A \)와 \( B \)의 곱 \( AB \)를 구하시오.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$
풀이:
1. (1행) × (1열): \( 1\cdot0 + 2\cdot2 = 4 \)
2. (1행) × (2열): \( 1\cdot1 + 2\cdot1 = 3 \)
3. (2행) × (1열): \( 3\cdot0 + 4\cdot2 = 8 \)
4. (2행) × (2열): \( 3\cdot1 + 4\cdot1 = 7 \)
$$ AB = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix} $$ 주의할 점은 \( AB \)와 \( BA \)가 일반적으로 같지 않다는 것이다(교환 법칙 성립 안 함).

2. 행렬식 (Determinant)과 크래머 공식

정사각행렬을 하나의 숫자(스칼라)로 축약한 값을 행렬식(Determinant)이라고 한다. 기하학적으로 2차원 행렬식은 평행사변형의 '넓이', 3차원은 평행육면체의 '부피'를 의미한다. 행렬식이 0이라는 것은 부피가 0, 즉 차원이 찌그러졌다는 뜻이며 역행렬이 존재하지 않음을 의미한다.

$$ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc $$
[Example 2] 연립방정식 풀기 (Cramer's Rule)

문제: 다음 연립방정식을 행렬식을 이용해 푸시오.

$$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases} $$
풀이:
계수 행렬 \( D \), 그리고 \( x \)열을 상수항으로 바꾼 \( D_x \), \( y \)열을 바꾼 \( D_y \)를 계산한다. $$ D = \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| = 4 - 6 = -2 $$ $$ D_x = \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ 11 & 4 \end{matrix} \right| = 20 - 22 = -2 $$ $$ D_y = \left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 11 \end{matrix} \right| = 11 - 15 = -4 $$ 따라서 해는: $$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{-2} = 2 $$

3. 고유값과 고유벡터 (Eigenvalues & Eigenvectors)

행렬 \( A \)를 어떤 벡터 \( \mathbf{v} \)에 곱했더니, 방향은 변하지 않고 크기만 \( \lambda \)배로 늘어나거나 줄어드는 경우가 있다. 이때 \( \lambda \)를 고유값, \( \mathbf{v} \)를 고유벡터라고 한다. 이 개념은 진동, 양자역학, 회전 운동 등을 분석할 때 가장 중요한 도구이다.

$$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \quad (\text{또는 } (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0) $$ $$ \det(A - \lambda I) = 0 \quad (\text{특성 방정식}) $$
v (원래 벡터) Av = λv 방향은 그대로, 길이만 λ배!
[그림 2] 고유벡터의 기하학적 의미: 행렬에 의해 회전하지 않는 축
[Example 3] 고유값 구하기

문제: 행렬 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)의 고유값을 모두 구하시오.

풀이:
1. 특성 방정식을 세운다: \( \det(A - \lambda I) = 0 \) $$ \left| \begin{matrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{matrix} \right| = 0 $$ 2. 행렬식을 계산한다: $$ (1-\lambda)(1-\lambda) - 4 = 0 $$ $$ (1 - 2\lambda + \lambda^2) - 4 = 0 $$ $$ \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 $$ 3. 이차방정식을 인수분해한다: $$ (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0 $$ 4. 따라서 고유값은 \( \lambda = 3 \) 과 \( \lambda = -1 \) 이다.

(참고: \( \lambda=3 \)일 때 고유벡터는 \( (1, 1) \), \( \lambda=-1 \)일 때 고유벡터는 \( (1, -1) \)이 된다.)

4. 행렬의 대각화 (Diagonalization)

복잡한 행렬을 다루기 쉬운 대각 행렬(대각선 성분만 있고 나머지는 0인 행렬)로 바꾸는 과정을 대각화라고 한다. 고유값들을 구해서 대각선에 배치하면 그것이 바로 대각화된 행렬 \( D \)가 된다. 물리학에서는 이것을 "좌표축을 회전시켜 문제를 가장 단순하게 만드는 과정"이라고 이해하면 된다.

$$ D = P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} $$

예를 들어, 앞선 [Example 3]의 행렬 \( A \)는 적절한 변환을 통해 다음과 같이 단순해진다. $$ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ 이 상태에서는 행렬의 거듭제곱 \( A^{100} \)도 암산으로 \( 3^{100} \)과 \( (-1)^{100} \)만 계산하면 되므로 매우 강력하다.