Chapter 2. 복소수 (Complex Numbers)

물리학, 특히 양자역학이나 전자기학을 공부하다 보면 \( \sqrt{-1} \)과 같은 낯선 수를 필연적으로 마주하게 된다. 처음에는 '상상의 수(Imaginary Number)'라고 불리며 배척받았지만, 이제 우리는 안다. 복소수야말로 자연의 회전과 파동을 기술하는 가장 자연스럽고 우아한 언어라는 것을. 이 장에서는 복소수의 기본 연산부터 오일러 공식, 그리고 복소 함수까지 핵심 내용을 살펴본다.

1. 복소수의 탄생과 기본 연산

이차방정식 \( x^2 + 1 = 0 \)의 해는 실수 범위에 존재하지 않는다. 이를 해결하기 위해 수학자들은 제곱해서 -1이 되는 수, 허수 단위 \( i \)를 도입했다.

$$ i^2 = -1, \quad z = x + iy $$

여기서 \( x \)를 실수부(Real part), \( y \)를 허수부(Imaginary part)라고 부른다. 복소수는 마치 2차원 평면 위의 점 \((x, y)\)처럼 행동한다.

[Example 1] 이차방정식의 해

문제: 다음 방정식의 해를 구하시오.

$$ z^2 - 2z + 2 = 0 $$
풀이:
근의 공식(Quadratic Formula)을 사용한다. \( a=1, b=-2, c=2 \)를 대입하면: $$ z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2} $$ $$ z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} $$ 여기서 \( \sqrt{-4} = \sqrt{4(-1)} = 2i \) 이므로, $$ z = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i $$ 따라서 해는 \( 1+i \) 와 \( 1-i \) 이다.

2. 복소 평면 (The Complex Plane)

복소수 \( z = x + iy \)는 평면상의 점 \((x, y)\)로 찍을 수 있다. 이를 아르강 다이어그램(Argand Diagram)이라고 한다. 직교 좌표계 \((x, y)\) 대신 원점에서의 거리 \( r \)과 각도 \( \theta \)를 사용하는 극좌표계(Polar Coordinates)가 물리학에서는 훨씬 유용하다.

z = x + iy θ r
[그림 1] 복소 평면과 극좌표 표현
$$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$ $$ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) $$ $$ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \tan^{-1}(y/x) $$

3. 오일러 공식 (Euler's Formula)

복소수 단원에서 가장 중요한 식 하나를 꼽으라면 단연 오일러 공식이다. 삼각함수와 지수함수를 연결해 주는 이 아름다운 공식 덕분에 복잡한 삼각함수 계산을 단순한 지수 법칙으로 바꿀 수 있다.

$$ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $$

따라서 모든 복소수는 다음과 같이 간결하게 표현된다.

$$ z = r e^{i\theta} $$
[Example 2] 복소수의 극형식 표현

문제: 복소수 \( z = 1 + i \)를 \( r e^{i\theta} \) 꼴로 나타내시오.

풀이:
1. 크기(Modulus) \( r \) 구하기: $$ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$ 2. 각도(Phase) \( \theta \) 구하기: $$ \tan \theta = \frac{1}{1} = 1 \quad \Rightarrow \quad \theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4} $$ 3. 결과: $$ z = \sqrt{2} \, e^{i \pi / 4} $$ 이 형태를 쓰면 \( (1+i)^{10} \)과 같은 거듭제곱 계산이 암산으로 가능할 정도로 쉬워진다.

4. 거듭제곱과 제곱근 (Powers and Roots)

오일러 공식을 이용하면 복소수의 \( n \)승이나 \( n \)제곱근을 매우 쉽게 구할 수 있다. $$ z^n = (r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} $$ 이를 드 무아브르의 정리(De Moivre's Theorem)라고도 한다.

[Example 3] 복소수의 거듭제곱

문제: \( (1+i)^{10} \)을 계산하시오.

풀이:
앞선 예제에서 \( 1+i = \sqrt{2} e^{i \pi/4} \)임을 알았다. $$ (1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \cdot (e^{i \pi/4})^{10} $$ $$ = 2^5 \cdot e^{i 10\pi/4} = 32 \cdot e^{i 5\pi/2} $$ 각도 \( \frac{5\pi}{2} \)는 한 바퀴(\( 2\pi \))를 돌고 \( \frac{\pi}{2} \)만큼 더 간 것이다. $$ e^{i 5\pi/2} = e^{i \pi/2} = \cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2) = 0 + i = i $$ 따라서 답은: $$ 32i $$
[Example 4] 복소수의 제곱근

문제: \( \sqrt[3]{8} \) (8의 세제곱근)을 모두 구하시오.

풀이:
실수에서는 답이 2 하나뿐이지만, 복소수 범위에서는 3개의 해가 존재한다. 8을 복소 평면의 극형식으로 쓰면: $$ 8 = 8 e^{i(0 + 2k\pi)} \quad (k=0, 1, 2) $$ 양변에 \( 1/3 \)승을 취하면: $$ z = 8^{1/3} e^{i(2k\pi/3)} = 2 e^{i(2k\pi/3)} $$
  • \( k=0 \)일 때: \( 2 e^0 = 2 \) (우리가 아는 실근)
  • \( k=1 \)일 때: \( 2 e^{i 2\pi/3} = 2 (\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ) = 2 (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3} \)
  • \( k=2 \)일 때: \( 2 e^{i 4\pi/3} = 2 (\cos 240^\circ + i \sin 240^\circ) = 2 (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3} \)
이 세 점은 복소 평면에서 정삼각형을 이룬다.

5. 복소 함수 (Elementary Functions)

지수함수, 로그함수, 삼각함수도 복소수 범위로 확장할 수 있다. 특히 \( \ln z \)는 각도(편각) 때문에 무수히 많은 값을 가지는 다가 함수(Multi-valued function)가 된다.

$$ \ln z = \ln(r e^{i\theta}) = \ln r + i(\theta + 2n\pi) $$
[Example 5] i의 i승 계산하기

문제: \( i^i \)의 값을 구하시오. (실수일까 허수일까?)

풀이:
1. 먼저 밑에 있는 \( i \)를 지수 형식으로 바꾼다. \( i \)는 크기가 1이고 각도가 90도(\(\pi/2\))이다. $$ i = e^{i \pi/2} $$ 2. 양변을 \( i \)승 한다. $$ i^i = (e^{i \pi/2})^i = e^{i \cdot i \cdot \pi/2} = e^{i^2 \pi/2} $$ 3. \( i^2 = -1 \)이므로: $$ i^i = e^{-\pi/2} $$ 4. \( e^{-\pi/2} \)는 약 \( 0.2078... \)인 실수이다. 허수의 허수승이 실수가 되는 놀라운 결과이다. (일반해를 고려하면 \( e^{-\pi/2 + 2n\pi} \)로 무수히 많은 실수 값들이 나온다.)