제 1장. 수열과 무한급수

수열 $a_n$이 주어졌을 때 $n$이 커질수록 $a_n$이 어떤 값 $L$에 가까워지면 $\lim_{n\to\infty} a_n = L$이라 정의한다.

만약 이러한 $L$이 존재하지 않으면 그 수열은 발산한다고 한다.

수열의 극한 개념은 나중에 "부분합 수열"의 극한으로 무한급수의 합을 정의할 때 사용한다. 대표적인 예로는 $a_n = 1/n$은 0으로 수렴하고, $a_n = (-1)^n$은 두 값 사이를 왔다 갔다 하므로 극한이 존재하지 않아 발산한다고 한다.

무한급수는 다음과 같은 무한히 많은 항의 합이다.

$N$번째 부분합을

으로 두고, 수열 $S_N$이 어떤 유한한 값 $S$로 수렴하면, 급수는 수렴한다고 하고 $S$를 급수의 합이라고 정의한다. $S_N$이 수렴하지 않으면 급수는 발산한다고 한다.

기본 예로 기하급수 $\sum_{n=0}^{\infty} r^n$이 등장한다. 이 급수는 $|r|<1$일 때 합이 $\frac{1}{1-r}$가 되고, $|r|\ge 1$일 때는 발산한다고 한다.

항들이 모두 0 이상인 두 급수 $\sum a_n, \sum b_n$에 대해 다음을 쓴다.

• $0 \le a_n \le b_n$이고 $\sum b_n$이 수렴하면, $\sum a_n$도 수렴한다.
• $0 \le b_n \le a_n$이고 $\sum b_n$이 발산하면, $\sum a_n$도 발산한다.

이 판정은 보통 성질이 잘 알려진 기준 급수(예: p-급수 $\sum 1/n^p$)와의 비교에 사용한다.

양의 항 급수 $\sum a_n$에 대해 다음을 계산한다.

• $\rho < 1$이면 급수는 (절대) 수렴한다.
• $\rho > 1$ 또는 $\rho = \infty$이면 급수는 발산한다.
• $\rho = 1$이면 이 판정만으로는 결론을 내릴 수 없고 다른 판정을 써야 한다.

팩토리얼이 들어가는 급수에서 특히 유용하게 쓰는 판정이다.

부호가 번갈아 나오는 급수, 예를 들면 $\sum (-1)^n a_n$ 형태를 교대급수라고 부른다.

교대급수판정(Leibniz 판정)은 다음 조건에서 $\sum (-1)^n a_n$이 수렴한다고 말한다.

• $a_n > 0$
• $a_n$이 단조 감소
• $a_n \to 0$

이 세 조건이 만족되면 교대급수는 수렴한다고 한다.

• 절대수렴: $\sum |a_n|$이 수렴하면 $\sum a_n$도 수렴하는데, 이 경우 급수가 절대수렴한다고 한다.
• 조건수렴: $\sum a_n$은 수렴하지만 $\sum |a_n|$은 발산하는 경우를 조건수렴이라고 한다.

이 구분은 나중에 급수의 항을 재배열했을 때 합이 어떻게 변하는지, 또 복소수 급수에서 어떻게 취급하는지를 이해하는 데 중요하다.

멱급수(power series)는 다음과 같은 꼴이다.

고정된 $x_0$에 대해 어떤 $x$ 값들에서는 수렴하고, 다른 값들에서는 발산하는데, 이 수렴 영역을 설명하기 위해 수렴반경이라는 개념을 도입한다.

비율판정을 멱급수에 적용하면,

을 얻게 되고, 이 값이 1보다 작을 때 수렴한다고 한다. 결과를 요약하면 다음과 같다.

• $|x-x_0| < R$이면 멱급수는 수렴한다.
• $|x-x_0| > R$이면 멱급수는 발산한다.
• $|x-x_0| = R$에서는 별도로 조사해야 한다.

여기서 $R$을 수렴반경이라 부른다. 실수 변수의 경우에는 수렴구간, 복소수 변수의 경우에는 수렴원판(디스크)이라는 기하적 해석을 한다.

함수 $f(x)$가 점 $x=a$ 근처에서 충분히 많이 미분 가능하면, 다음과 같이 전개할 수 있다고 정의한다. 이를 $f(x)$의 $a$에서의 테일러 급수라고 부른다.

각 계수는 $a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ 로 주어진다. 즉, 도함수를 계산하여 $x=a$에서의 값을 나누기 $n!$ 하면 되는 것이다.

특별히 $a=0$ 인 경우를 매클로린 급수라고 한다. 이때 다음과 같이 쓴다.

Boas 1장은 이후 장에서 반복해서 사용할 기본 급수들을 정리해 둔다.

1. 지수함수 $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$
2. 사인 함수 $$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $$
3. 코사인 함수 $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $$
4. 자연로그 (원점 근처) $$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots,\quad |x|<1 $$

이러한 급수들은 복소수 장, 미분방정식, 특수함수, 푸리에 해석 등에서 기본 도구로 사용한다.

테일러 급수는 실제 계산에서 무한히 많은 항을 쓰지 않고, 적당한 차수까지만 잘라서 근사값을 구하는 데 사용한다.

예를 들어, 작은 $x$에 대해서는 다음과 같이 몇 개의 항만 사용하여 근사한다.

• $\sin x \approx x$
• $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$
• $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$

이때 오차는 보통 다음 항 한 개 정도의 크기로 추정하며, 보다 엄밀하게는 테일러 나머지항(Remainder term)을 통해 오차를 상계하는 방식으로 다룬다.

이러한 근사와 오차 개념은 이후 수치해석, 미분방정식의 수치해법, 물리 모델 선형화의 정확도 평가 등에서 핵심적인 도구가 된다.